6 клас
1. Знайдіть площу города
прямокутної форми, якщо людина обходить його за 5 хвилин зі швидкістю
20 м/хв. Відомо, що ширина города 20 м.
Відповідь. 600 м2.
Периметр города є відстанню, яку проходить людина: 20*5=100 м. Звідси,
довжина города – 100:2 – 20=30 м, а площа
30*20=600 м2.
2. Сашко і Миколка їдуть у
сусідніх вагонах потягу «Київ – Одеса». Вагон, в якому їде Сашко, – п’ятий з
«голови» потягу, а вагон, в якому їде Миколка, – сьомий з «хвоста». Скільки
вагонів у цьому потязі?
Відповідь обґрунтуйте.
Відповідь. 10 або 12 вагонів.
Якщо Сашко ближче до локомотиву, ніж Миколка, то
вагонів у потязі буде 5+7=12. А якщо Миколка ближче до локомотиву, ніж Сашко, то вагонів
у потязі буде 5-2+7=10.
3. Учень написав на дошці
приклад на множення двозначних чисел. Потім він усі цифри замінив літерами і
отримав рівність: AB х CD = MLNKT. Чи можливо таке?
Відповідь. Ні.
Рівність AB*CD=MLNKT отримати неможливо, оскільки
найбільший можливий добуток двозначних чисел
99*99<100*100 (=10000).
5. Довжина, ширина і висота
шматка господарського мила, що має форму прямокутного паралелепіпеда,
зменшилися вдвічі після 7-го прання. На скільки разів прання вистачить шматка
мила, що залишився?
Відповідь. Одне прання.
Намалювавши кусок мила та розділивши кожну його
сторону навпіл, бачимо, що отримаємо 8 маленьких шматочків, кожний з яких
дорівнює куску, що залишився після 7 етапів прання. Тобто після 7 прання
витратили мила стільки, скільки було у 7
шматочках. Отже, решти вистачить лише на одне прання.
7 клас
1. Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження.
«Це число або закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20,
або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21». Знайдіть
всі двозначні числа, які задовольняють умовам задачі.
Відповідь. 84.
Розв’язання. Припустимо, що це число закінчується на 5.
Тоді воно не може
закінчуватись на 9, а
тому, більше 20. Так як ціле число, більше 20, не може бути менше 21, і шукане
число ділиться на 12. Але число, що ділиться на 12, парне, і тому не може
закінчуватися на 5. Протиріччя. Отже, шукане число ділиться на 7. Єдине
двозначне число, що ділиться на 7 і закінчується на 9 - це 49. Але число 49 не
ділиться на 12 і більше 21. Протиріччя. Тому шукане число більше 20 і ділиться
на 12. Єдине двозначне число, що ділиться на 7 і 12 –
це 84.
2. До натурального числа
дозволяється додавати або віднімати суму його цифр. Чи можна за допомогою цих
операцій із числа 2013 одержати число 2014?
Відповідь. Не можна.
Розв’язання. Якщо число ділиться на
3, то після зміни цього числа на суму його цифр воно як і раніше буде ділитися
на 3. Число 2013 ділиться на 3, а число 2014 – ні.
3. Розрiзати фiгуру, зображену на малюнку, на двi рiвнi
частини.
4. Доведіть, що з будь-яких ста цілих чисел
завжди можна вибрати два
таких числа, що їх різниця націло ділиться на
99.
Вказівка. При
діленні цілого числа на 99 можна отримати остачі: 0, 1, … 98. Оскільки чисел
100, то принаймні існує два числа, які при діленні на 99 мають однакові остачі,
а отже їх різниця ділиться націло на 99.
5. Є два сплави міді й олова. Перший сплав містить 40%
міді, а другий сплав – 60 % міді. Скільки потрібно взяти кожного сплаву, щоб
одержати 10 кг нового сплаву, який містив би 54 % міді?
Відповідь. 3 кг, 7 кг.
Розв’язання. 10 · 0,54 = 5,4 (кг) – міді
в новому сплаві.
Нехай І сплаву треба взяти х кг,
тоді ІІ – (10 – х) кг. В І сплаві міді 0,4х кг, а в ІІ: 0,6·(10 – х) = (6 – 0,6х) кг. Складемо рівняння: 0,4х
+ 6 – 0,6х = 5,4; х = 3.
